Определение критических параметров сводится к нелинейной краевой задаче

В случае необходимости учета зависимости свойств материала от температуры для решения связанных задач при периодических механических воздействиях предлагается использовать метод квазилинеаризации. Для общего трехмерного случая применение этого метода приводит к следующей системе дифференциальных уравнений: Подробное обсуждение метода квазилинеаризации для достаточно общих нелинейных операторных уравнений и доказательство его сходимости содержатся в работах. Его преимуществом перед другими методами является сведение исходной нелинейной задачи к задаче, квадратичная сходимость и монотонность процесса сходимости. Возникающую на каждой из итераций линейную задачу можно решать любым из существующих численных методов, например методом дискретной Годунова, методом конечных элементов и т. п. В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрим связанную задачу о колебаниях одномерного объекта (стержня, пластины, оболочки и т. п.) с учетом зависимости свойств материала от температуры в соответствии с принципом температурно-временной аналогии.

Один край объекта подвержен периодическому воздействию, другой — свободен. Тепловые граничные условия следующие: на одном из краев происходит теплообмен по закону Ньютона, на другом поддерживается постоянная температура 90. Для выяснения максимального влияния термомеханического сопряжения полей деформаций и температуры необходимо решить нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: Для решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений использовался метод дискретной ортогонализации Годунова. При этом нужно аппроксимировать коэффициенты системы полиномами высокой степени.

Если со > 1, напряженно-деформированное состояние имеет характер быстро-осциллирующих функций и возникают затруднения в их аналитической аппроксимации. Применение прямых численных методов может оказаться весьма затруднительным в связи с необходимостью выбора очень малых шагов по времени и пространственной координате для обеспечения достаточной точности и устойчивости вычислительного процесса.